решение тригонометрических уравнений

Как решать эти блядские тригонометрические уравнения

Как решать тригонометрические уравнения

Тригонометрическое уравнение содержит одну или несколько тригонометрических функций переменной «х» (или любой другой переменной). Решение тригонометрического уравнения - это нахождение такого значения «х», которое удовлетворяет функции (функциям) и уравнению в целом.

Решения тригонометрических уравнений выражаются в градусах или радианах. Примеры:
х = π/3; х = 5π/6; х = 3π/2; х = 45 градусов; х = 37,12 градусов; х = 178,37 градусов.

Примечание: значения тригонометрических функций от углов, выраженных в радианах, и от углов, выраженных в градусах, равны. Тригонометрическая окружность с радиусом, равным единице, служит для описания тригонометрических функций, а также для проверки правильности решения основных тригонометрических уравнений и неравенств.
Примеры тригонометрических уравнений:
sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1 .
Тригонометрическая окружность с радиусом, равным единице (единичная окружность).
Это окружность с радиусом, равным единице, и центром в точке O. Единичная окружность описывает 4 основные тригонометрические функции переменной «х», где «х» - угол, отсчитываемый от положительного направления оси Х против часовой стрелки.
Если «х» - некоторый угол на единичной окружности, то:
Горизонтальная ось OAх определяет функцию F(х) = соs х.
Вертикальная ось OВy определяет функцию F(х) = sin х.
Вертикальная ось AT определяет функцию F(х) = tg х.
Горизонтальная ось BU определяет функцию F(х) = сtg х.
Единичная окружность также применяется при решении основных тригонометрических уравнений и неравенств (на ней рассматриваются различные положения «х»).

Шаг 1 Концепция решения тригонометрических уравнений.

Для решения тригонометрического уравнения преобразуйте его в одно или несколько основных тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения в конечном итоге сводится к решению четырех основных тригонометрических уравнений.

Шаг 2 Решение основных тригонометрических уравнений.

Существуют 4 вида основных тригонометрических уравнений:
sin x = a; cos x = a
tg x = a; ctg x = a
Решение основных тригонометрических уравнений подразумевает рассмотрение различных положений «х» на единичной окружности, а также использование таблицы преобразования (или калькулятора).
Пример 1. sin x = 0,866. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: 2π/3. Запомните: все тригонометрические функции являются периодическими, то есть их значения повторяются. Например, периодичность sin x и cos x равна 2πn, а периодичность tg x и ctg x равна πn. Поэтому ответ записывается следующим образом:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Пример 2. соs х = -1/2. Используя таблицу преобразования (или калькулятор), вы получите ответ: х = 2π/3. Единичная окружность дает еще один ответ: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; х2 = -2π/3 + 2π.
Пример 3. tg (x - π/4) = 0.
Ответ: х = π/4 + πn.
Пример 4. ctg 2x = 1,732.
Ответ: х = π/12 + πn.

Шаг 3 Преобразования, используемые при решении

Для преобразования тригонометрических уравнений используются алгебраические преобразования (разложение на множители, приведение однородных членов и т.д.) и тригонометрические тождества.
Пример 5. Используя тригонометрические тождества, уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0 преобразуется в уравнение 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Таким образом, нужно решить следующие основные тригонометрические уравнения: cos x = 0; sin (3x/2) = 0; cos (x/2) = 0.

Шаг 4 Нахождение углов по известным значениям функций.

Перед изучением методов решения тригонометрических уравнений вам необходимо научиться находить углы по известным значениям функций. Это можно сделать при помощи таблицы преобразования или калькулятора.
Пример: соs х = 0,732. Калькулятор даст ответ х = 42,95 градусов. Единичная окружность даст дополнительные углы, косинус которых также равен 0,732.

Шаг 5 Отложите решение на единичной окружности.

Вы можете отложить решения тригонометрического уравнения на единичной окружности. Решения тригонометрического уравнения на единичной окружности представляют собой вершины правильного многоугольника.
Пример: Решения x = π/3 + πn/2 на единичной окружности представляют собой вершины квадрата.
Пример: Решения x = π/4 + πn/3 на единичной окружности представляют собой вершины правильного шестиугольника.

Шаг 6 Методы решения тригонометрических уравнений.

Если данное тригонометрическое уравнение содержит только одну тригонометрическую функцию, решите это уравнение как основное тригонометрическое уравнение. Если данное уравнение включает две или более тригонометрические функции, то существуют 2 метода решения такого уравнения (в зависимости от возможности его преобразования).
Метод 1.
Преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: f(x)*g(x)*h(x) = 0, где f(x), g(x), h(x) - основные тригонометрические уравнения.

Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0 < x < 2π)
Решение. Используя формулу двойного угла sin 2x = 2*sin х*соs х, замените sin 2x.
2соs х + 2*sin х*соs х = 2cos х*(sin х + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: соs х = 0 и (sin х + 1) = 0.
Пример 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2π)
Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: cos 2x(2cos x + 1 ) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
Пример 8. sin x - sin 3x = cos 2x . (0 < x < 2π)
Решение: Используя тригонометрические тождества, преобразуйте данное уравнение в уравнение вида: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Теперь решите два основных тригонометрических уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.
Метод 2.
Преобразуйте данное тригонометрическое уравнение в уравнение, содержащее только одну тригонометрическую функцию. Затем замените эту тригонометрическую функцию на некоторую неизвестную, например, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t и т.д.).
Пример 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0 < x < 2π).
Решение. В данном уравнении замените (cos^2 x) на (1 - sin^2 x) (согласно тождеству). Преобразованное уравнение имеет вид:
3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Замените sin х на t. Теперь уравнение имеет вид: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Это квадратное уравнение, имеющее два корня: t1 = -1 и t2 = 9/5. Второй корень t2 не удовлетворяет области значений функции (-1 < sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
Пример 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
Решение. Замените tg x на t. Перепишите исходное уравнение в следующем виде: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Теперь найдите t, а затем найдите х для t = tg х.

Шаг 7 Особые тригонометрические уравнения.

Есть несколько особых тригонометрических уравнений, которые требуют конкретных преобразований. Примеры:
a*sin x+ b*cos x = c ; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c;
a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0

Шаг 8 Периодичность тригонометрических функций.

Как упоминалось ранее, все тригонометрические функции являются периодическими, то есть их значения повторяются через определенный период. Примеры:
Период функции f(x) = sin x равен 2π.
Период функции f(x) = tg x равен π.
Период функции f(x) = sin 2x равен π.
Период функции f(x) = cos (x/2) равен 4π.
Если период указан в задаче, вычислите значение «х» в пределах этого периода.
Примечание: решение тригонометрических уравнений – непростая задача, которая часто приводит к ошибкам. Поэтому тщательно проверяйте ответы. Для этого можно использовать графический калькулятор, чтобы построить график данного уравнения R(х) = 0. В таких случаях решения будут представлены в виде десятичных дробей (то есть π заменяется на 3,14).

Конец

Урок окончен

[ушная сперма]

вау

[СБЭУ Колонка]

Спасибо. Теперь я по алгебре получу 5.

[ВИТЧХАНТ]

спасбио

[yuno]

Жёсткий пон.